Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um t abaixo.
integral 2 e^x+1e^x+2-5e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2e^x+1e^x+2-5e^x,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional após a substituição t=e^x. Vamos precisar de:
– Substituição t=e^x, logo dt=e^xdx e dx=dtt.
– Decomposição em frações para integrar um quociente cuja numerador é quase a derivada do denominador.
– Fórmulas padrão integral u'udu=ln|u| e integralduu^2-a^2=12alnl|u-au+ar|.

Passo 2

Fazendo t=e^x, temos dx=dtt e
e^x+2-5e^x =t^2+2t-5t
Assim
2e^x+1e^x+2-tfrac5e^x,dx =2t+1t^2+2t-5t;dtt =2t+1t^2+2t-5,dt
A integral original passa a ser
integral 2t+1t^2+2t-5,dt

Passo 3

Observe que ddt(t^2+2t-5)=2t+2. Escrevemos
2t+1=(2t+2)-1
e separamos
integral2t+1t^2+2t-5,dt =integral2t+2t^2+2t-5,dt -integral1t^2+2t-5,dt
A primeira parte dá
integral2t+2t^2+2t-5,dt =lnl|t^2+2t-5r|

Passo 4

Para a segunda integral, complete o quadrado no denominador:
t^2+2t-5=(t+1)^2-6
Logo, com u=t+1 e a=raiz6,
integral1(t+1)^2-6,dt =integral1u^2-a^2,du =12alnl|u-au+ar| =12raiz6lnl|t+1-raiz6t+1+raiz6r|
Reunindo tudo e voltando a t=e^x, obtemos
integral 2e^x+1e^x+2-tfrac5e^x,dx =lnl|e^2x+2e^x-5r| -12raiz6ln!l|e^x+1-raiz6e^x+1+raiz6r| + C

Resposta

boxed lnl|e^2x+2e^x-5r| -12raiz6ln!l|e^x+1-raiz6e^x+1+raiz6r| + C

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