Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um t abaixo.
integral xraiz6 x-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xraiz6x - x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções que envolvem raiz de uma quadrática. Vamos usar completar o quadrado para reescrever o radicando e depois uma substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no radicando:
6x - x^2 = -l(x^2 - 6xr) = -l[(x-3)^2 - 9r] = 9 - (x-3)^2
Logo
raiz6x - x^2 = raiz9 - (x-3)^2
Fazemos a mudança de variável
t = x - 3, x = t + 3, dx = dt,
de modo que a integral vira
integral xraiz6x - x^2,dx = integral t+3raiz9 - t^2,dt

Passo 3

Agora separamos a integral em duas partes:
integral t+3raiz9 - t^2,dt = integral traiz9 - t^2,dt + 3integral 1raiz9 - t^2,dt
Para a primeira parte usamos que
ddtl(raiz9 - t^2r) = -traiz9 - t^2,
e para a segunda parte usamos a primitiva
integral 1raiza^2 - t^2,dt = arcsin!l(tfractar)

Passo 4

Aplicando essas fórmulas, obtemos
integral traiz9 - t^2,dt = -raiz9 - t^2,
integral 1raiz9 - t^2,dt = arcsin!l(tfract3r)
Somando com o fator 3, a primitiva em t é
-raiz9 - t^2 ;+; 3,arcsin!l(tfract3r) + C

Passo 5

Volta-se à variável x usando t = x - 3 e raiz9 - t^2 = raiz6x - x^2. Assim a resposta final é
-raiz6x - x^2 ;+; 3,arcsin!l(tfracx - 33r) + C

Resposta

integral xraiz6x - x^2,dx = -raiz6x - x^2 + 3arcsin!l(tfracx-33r) + C

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