Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um t abaixo.
integral cos xsen^2 x-6 sin x

Passo 1

Estamos com a integral indefinida
integral cos xsin^2x - 6sin x,dx
O conteúdo envolve integração por substituição (já que aparece cos x,dx) e resolução de frações parciais para a parte racional em sin x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = sin x, dt = cos x,dx
Com isso a integral vira
integral dtt^2 - 6t = integral dtt(t - 6)

Passo 3

Para integrar integral dtt(t-6) usamos frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
1t(t-6) = At + Bt-6
Multiplicando por t(t-6) vem
1 = A(t-6) + B,t = (A+B),t - 6A
Comparando coeficientes:
A + B = 0, -6A = 1, Longrightarrow A = -tfrac16,; B = tfrac16
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integral dtt(t-6) = integrall(-tfrac16t + tfrac16(t-6)r),dt = -tfrac16lnlvert trvert + tfrac16lnlvert t-6rvert + C

Passo 4

Voltando à variável x com t = sin x, obtemos
-tfrac16lnl|sin xr| + tfrac16lnl|sin x - 6r| + C = tfrac16ln!l|sin x - 6sin xr| + C

Resposta

boxed integral cos xsin^2x - 6sin x,dx = 16,ln!l|sin x - 6sin xr| + C

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