Resolva as integrais indefinidas:
\int\left(x^{2}+x\right) \cdot e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\left(x^{2}+x\right)\cdot e^{x}\,dx.
Informações dadas:
\;x^{2}+x é um polinômio de grau 2 e e^{x} é a exponencial. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função \left(x^{2}+x\right)e^{x}. Não há outras condições (constante de integração C será adicionada no final).

Passo 2

Ideia principal (método escolhido e por quê): quando vemos um polinômio multiplicando e^{x}, duas abordagens comuns são (a) integrar por partes repetidas ou (b) procurar uma primitiva da forma e^{x} vezes um polinômio (método dos coeficientes indeterminados). Vou usar o método dos coeficientes indeterminados porque é rápido e elegante aqui: suponho que exista um polinômio Q(x) de grau 2 tal que a primitiva seja e^{x}Q(x). Vou explicar a razão técnica.
A fórmula que usamos é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}Q(x)\bigr)=e^{x}Q(x)+e^{x}Q'(x)=e^{x}\bigl(Q(x)+Q'(x)\bigr).
Aqui Q'(x) é a derivada de Q. Para e^{x}Q(x) ser uma primitiva de e^{x}(x^{2}+x) devemos ter
Q(x)+Q'(x)=x^{2}+x.
Agora escolhemos Q(x) na forma geral de polinômio de grau 2:
Q(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.

Passo 3

Calcule Q'(x) e monte a equação para igualar coeficientes. Temos
Q'(x)=2ax+b.
Logo
Q(x)+Q'(x)=ax^{2}+(b+2a)x+(c+b).
Igualamos com x^{2}+x, ou seja,
ax^{2}+(b+2a)x+(c+b)=x^{2}+x.
Comparando coeficientes (polinômios iguais para todo x têm coeficientes iguais):
  • Coeficiente de x^{2}: a=1.
  • Coeficiente de x: b+2a=1. Substituindo a=1 b+2=1\Rightarrow b=-1.
  • Termo constante: c+b=0. Substituindo b=-1 c-1=0\Rightarrow c=1.
Portanto
Q(x)=x^{2}-x+1.
Assim uma primitiva é
e^{x}Q(x)=e^{x}\bigl(x^{2}-x+1\bigr)+C.

Passo 4

Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcule a derivada de e^{x}(x^{2}-x+1).
Usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}(x^{2}-x+1)\bigr)=e^{x}(x^{2}-x+1)+e^{x}(2x-1)=e^{x}(x^{2}+x),
o que confirma que encontramos a primitiva correta. Como alternativa, daria para usar integração por partes repetidas e obter o mesmo resultado, mas o método dos coeficientes é mais direto aqui.

Resposta

e^{x}\bigl(x^{2}-x+1\bigr)+C

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