Resolva as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas:
é um polinômio de grau 2 e
é a exponencial. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função
. Não há outras condições (constante de integração
será adicionada no final).
Passo 2
Ideia principal (método escolhido e por quê): quando vemos um polinômio multiplicando
, duas abordagens comuns são (a) integrar por partes repetidas ou (b) procurar uma primitiva da forma
vezes um polinômio (método dos coeficientes indeterminados). Vou usar o método dos coeficientes indeterminados porque é rápido e elegante aqui: suponho que exista um polinômio
de grau 2 tal que a primitiva seja
. Vou explicar a razão técnica.
A fórmula que usamos é
Aqui
é a derivada de
. Para
ser uma primitiva de
devemos ter
Agora escolhemos
na forma geral de polinômio de grau 2:
onde
são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
Passo 3
Calcule
e monte a equação para igualar coeficientes. Temos
Logo
Igualamos com
, ou seja,
Comparando coeficientes (polinômios iguais para todo
têm coeficientes iguais):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . Substituindo dá . - Termo constante:
. Substituindo dá .
Portanto
Assim uma primitiva é
Passo 4
Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcule a derivada de
.
Usando a regra do produto:
Usando a regra do produto:
o que confirma que encontramos a primitiva correta. Como alternativa, daria para usar integração por partes repetidas e obter o mesmo resultado, mas o método dos coeficientes é mais direto aqui.