Resolva as integrais indefinidas:
\int x^{3} \cdot \operatorname{sen} x^{2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int x^{3}\,\sin\big(x^{2}\big)\,dx.
Informações dadas no enunciado: a expressão a ser integrada é \;x^{3}\sin(x^{2})\; e queremos uma primitiva (função cuja derivada é essa integranda). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Observação sobre a forma da integranda (sem resolver ainda): note que \sin(x^{2}) é uma função composta com x^{2} dentro, e há um fator x^{3} multiplicando. Podemos reescrever x^{3} como x^{2}\cdot x. Isso é útil porque a presença de um fator x junto com \sin(x^{2}) sugere que uma substituição do tipo u=x^{2} pode simplificar a integral. Vou fazer essa substituição — abaixo eu explico a regra usada.
Regra de substituição (lembrete didático): se tivermos uma integral da forma \int f(g(x))\,g'(x)\,dx, então fazendo u=g(x) obtemos \int f(u)\,du. Aqui o objetivo é identificar um pedaço cujo diferencial aparece (ou aparece multiplicado por constantes) na integral.

Passo 3

Aplicando a substituição sugerida. Defina
u = x^{2}.
Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Também note que x^{2}=u. Reescrevemos a integranda usando x^{3}=x^{2}\cdot x:
\int x^{3}\sin(x^{2})\,dx = \int \big(x^{2}\big)\cdot x\cdot \sin\big(x^{2}\big)\,dx.
Agora substituindo x^{2}=u e x\,dx=\tfrac{1}{2}du obtemos
\int x^{3}\sin(x^{2})\,dx = \int u\cdot \sin(u)\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u\sin(u)\,du.

Passo 4

Agora precisamos calcular \displaystyle \int u\sin(u)\,du. Aqui usamos a técnica de integração por partes.
Fórmula de integração por partes (lembrando do porquê): a partir da regra do produto para derivadas, se escolhermos duas funções U(u) e V(u) com diferenciais dU e dV, vale
\int U\,dV = U V - \int V\,dU.
A ideia prática é escolher U de forma que dU seja mais simples, e dV de forma que integrar dV (ou seja, encontrar V) seja fácil.
Aqui escolhemos
U = u,\qquad dV = \sin(u)\,du.
Então
dU = du,\qquad V = \int \sin(u)\,du = -\cos(u).

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int u\sin(u)\,du = U V - \int V\,dU = u\cdot\big(-\cos(u)\big) - \int \big(-\cos(u)\big)\,du.
Isto é
\int u\sin(u)\,du = -u\cos(u) + \int \cos(u)\,du.
A integral de \cos(u) é \sin(u), portanto
\int u\sin(u)\,du = -u\cos(u) + \sin(u) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa integral original que tinha o fator \tfrac{1}{2}:
\int x^{3}\sin(x^{2})\,dx = \frac{1}{2}\int u\sin(u)\,du = \frac{1}{2}\big(-u\cos(u) + \sin(u)\big) + C.
Substituindo u=x^{2} de volta:
\int x^{3}\sin(x^{2})\,dx = \frac{1}{2}\big(-x^{2}\cos(x^{2}) + \sin(x^{2})\big) + C.
Podemos escrever de forma mais arrumada:
\int x^{3}\sin(x^{2})\,dx = \frac{1}{2}\sin(x^{2}) - \frac{1}{2}x^{2}\cos(x^{2}) + C.

Passo 7

(Verificação rápida — opcional mas didática) Se derivarmos a resposta encontramos a integranda original. Diferenciando
F(x)=\frac{1}{2}\sin(x^{2}) - \frac{1}{2}x^{2}\cos(x^{2}),
usamos regra da cadeia e produto:
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\cos(x^{2})\cdot 2x - \frac{1}{2}\big(2x\cos(x^{2}) + x^{2}\cdot(-\sin(x^{2}))\cdot 2x\big).
Simplificando:
F'(x)=x\cos(x^{2}) - x\cos(x^{2}) + x^{3}\sin(x^{2}) = x^{3}\sin(x^{2}),
como desejado. A verificação confere que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sin(x^{2})-\frac{1}{2}x^{2}\cos(x^{2})+C

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