Resolva as integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas no enunciado: a expressão a ser integrada é
e queremos uma primitiva (função cuja derivada é essa integranda). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Observação sobre a forma da integranda (sem resolver ainda): note que
é uma função composta com
dentro, e há um fator
multiplicando. Podemos reescrever
como
. Isso é útil porque a presença de um fator
junto com
sugere que uma substituição do tipo
pode simplificar a integral. Vou fazer essa substituição — abaixo eu explico a regra usada.
Regra de substituição (lembrete didático): se tivermos uma integral da forma
, então fazendo
obtemos
. Aqui o objetivo é identificar um pedaço cujo diferencial aparece (ou aparece multiplicado por constantes) na integral.
Passo 3
Aplicando a substituição sugerida. Defina
Então
Também note que
. Reescrevemos a integranda usando
:
Agora substituindo
e
obtemos
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Aqui usamos a técnica de integração por partes.
Fórmula de integração por partes (lembrando do porquê): a partir da regra do produto para derivadas, se escolhermos duas funções
e
com diferenciais
e
, vale
A ideia prática é escolher
de forma que
seja mais simples, e
de forma que integrar
(ou seja, encontrar
) seja fácil.
Aqui escolhemos
Então
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Isto é
A integral de
é
, portanto
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa integral original que tinha o fator
:
Substituindo
de volta:
Podemos escrever de forma mais arrumada:
Passo 7
(Verificação rápida — opcional mas didática) Se derivarmos a resposta encontramos a integranda original. Diferenciando
usamos regra da cadeia e produto:
Simplificando:
como desejado. A verificação confere que a primitiva está correta.