Resolva as integrais indefinidas:
\int 4 \sqrt{x}-\frac{2}{3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 4 \sqrt{x}-\frac{2}{3 x^{2}}\,dx.
Informações importantes dadas:
  • A expressão contém \sqrt{x}, que é x^{1/2}.
  • A segunda parcela é \dfrac{2}{3x^{2}}=\dfrac{2}{3}x^{-2}.
  • O que se pede é uma primitiva (integral indefinida), ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x) seja o integrando.
  • Observação de domínio: por causa de \sqrt{x} e de x^{-2}, a expressão está naturalmente definida para x>0. Durante a resolução vamos assumir x>0.

Passo 2

Primeiro reescrevo o integrando em potências de x, que facilita aplicar a regra das potências:
4\sqrt{x}-\frac{2}{3x^{2}} = 4x^{1/2}-\frac{2}{3}x^{-2}.
A integral vira
\int\!\left(4x^{1/2}-\frac{2}{3}x^{-2}\right)\,dx.

Passo 3

Lembrete da regra básica de integração (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Além disso, a integração é linear, isto é,
\int\!(a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
para constantes a,b. Vamos aplicar isso termo a termo.

Passo 4

Integro o primeiro termo 4x^{1/2}. Aqui a=4 e n=1/2, então
\int 4x^{1/2}\,dx = 4\int x^{1/2}\,dx = 4\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = 4\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}.
Faço a simplificação da constante:
4\cdot\frac{1}{3/2} = 4\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{3},
logo o resultado do primeiro termo é
\frac{8}{3}x^{3/2}.

Passo 5

Agora integro o segundo termo -\dfrac{2}{3}x^{-2}. Aqui a=-\dfrac{2}{3} e n=-2, então
\int -\frac{2}{3}x^{-2}\,dx = -\frac{2}{3}\int x^{-2}\,dx = -\frac{2}{3}\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -\frac{2}{3}\cdot\frac{x^{-1}}{-1}.
Simplificando as constantes:
-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{-1} = \frac{2}{3},
portanto o resultado do segundo termo é
\frac{2}{3}x^{-1} = \frac{2}{3x}.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{8}{3}x^{3/2}+\frac{2}{3x}+C.
Se preferir, pode escrever x^{3/2} como \sqrt{x^{3}} ou x\sqrt{x}, por exemplo \dfrac{8}{3}x\sqrt{x}.

Resposta

\dfrac{8}{3}x^{3/2}+\dfrac{2}{3x}+C

Exercícios relacionados