Resolva as integrais indefinidas:
\int 3 x^{5} \cdot \cos x^{3} d x
Dica: fazer u=x^{3} e d v=3 x^{2} \cos x^{3} \cdot d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int 3 x^{5}\cdot \cos x^{3}\,dx.
Informações/dados fornecidos e observações úteis:
\text{Observação: }3x^{5}\cos x^{3} = x^{3}\cdot\bigl(3x^{2}\cos x^{3}\bigr).çã
Dica do enunciado (já dada por você): usar
u = x^{3}\quad\text{e}\quad dv = 3x^{2}\cos x^{3}\,dx.

Passo 2

Escolhemos usar a fórmula de integração por partes. Lembra dela? É esta:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e dv já foram sugeridos. Primeiro precisamos calcular du (a derivada de u vezes dx) e v (a primitiva de dv).
Calcule du:
u = x^{3}\quad\Rightarrow\quad du = \frac{d}{dx}(x^{3})\,dx = 3x^{2}\,dx.

Passo 3

Agora encontramos v como primitiva de dv:
dv = 3x^{2}\cos x^{3}\,dx.
Para calcular \int dv fazemos a substituição \displaystyle t = x^{3}. Então
dt = 3x^{2}\,dx.
Com isso
v = \int 3x^{2}\cos x^{3}\,dx = \int \cos t\,dt = \sin t = \sin(x^{3}).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int 3x^{5}\cos x^{3}\,dx = \int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int 3x^{5}\cos x^{3}\,dx = x^{3}\sin(x^{3}) - \int \sin(x^{3})\cdot 3x^{2}\,dx.
A integral restante é novamente simples pela mesma substituição t=x^{3}, dt=3x^{2}\,dx:
\int \sin(x^{3})\cdot 3x^{2}\,dx = \int \sin t\,dt = -\cos t = -\cos(x^{3}).
Portanto
\int 3x^{5}\cos x^{3}\,dx = x^{3}\sin(x^{3}) - \bigl(-\cos(x^{3})\bigr) + C = x^{3}\sin(x^{3}) + \cos(x^{3}) + C.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando o resultado para checar se volta ao integrando.
Se F(x)=x^{3}\sin(x^{3})+\cos(x^{3}), então
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\sin(x^{3})\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(\cos(x^{3})\bigr).
Pelo produto e cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\sin(x^{3})\bigr)=3x^{2}\sin(x^{3}) + x^{3}\cos(x^{3})\cdot 3x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x^{3})\bigr) = -\sin(x^{3})\cdot 3x^{2}.
Somando:
F'(x)=\bigl(3x^{2}\sin(x^{3})\bigr) + \bigl(3x^{5}\cos(x^{3})\bigr) - \bigl(3x^{2}\sin(x^{3})\bigr) = 3x^{5}\cos(x^{3}),
que é exatamente o integrando. Está confirmado.

Resposta

x^{3}\sin(x^{3})+\cos(x^{3})+C

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