Resolva os limites:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 2 da expressão \;3x+x^{2}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=3x+x^{2}.
  • O ponto onde aproximamos é x\to2.
  • Pergunta: qual é \lim_{x\to2}\left(3x+x^{2}\right)?

Passo 2

Conceitos úteis (explicados de forma bem direta):
  • Regra da soma para limites: \displaystyle \lim_{x\to a}\big(g(x)+h(x)\big)=\lim_{x\to a}g(x)+\lim_{x\to a}h(x), desde que os limites à direita existam.
  • Regra do múltiplo constante: \displaystyle \lim_{x\to a} c\cdot g(x)=c\cdot\lim_{x\to a} g(x) para constante c.
  • Regra da potência (ou substituição para funções polinomiais): \displaystyle \lim_{x\to a} \big(g(x)\big)^{n}=\big(\lim_{x\to a} g(x)\big)^{n}, se o limite de g(x) existe.
  • Observação prática: polinômios são funções contínuas em todo lugar, o que significa que para polinômio p vale \displaystyle \lim_{x\to a} p(x)=p(a). Isso permite, na prática, simplesmente substituir x=a.
Vou aplicar as regras acima passo a passo para ser bem claro.

Passo 3

Separe a soma usando a regra da soma:
\lim_{x\to2}\left(3x+x^{2}\right)=\lim_{x\to2}3x+\lim_{x\to2}x^{2}.

Passo 4

Calcule cada limite separadamente.
Primeiro termo — múltiplo constante:
\lim_{x\to2}3x=3\cdot\lim_{x\to2}x=3\cdot 2=6.
Expliquei: a função x\mapsto x tem limite 2 quando x\to2, e multiplicar por 3 6.
Segundo termo — potência:
\lim_{x\to2}x^{2}=\big(\lim_{x\to2}x\big)^{2}=2^{2}=4.
Expliquei: primeiro tira o limite de x (que é 2) e depois eleva ao quadrado.

Passo 5

Some os resultados:
\lim_{x\to2}\left(3x+x^{2}\right)=6+4=10.
Também poderia ter usado diretamente a continuidade do polinômio e observado f(2)=3\cdot2+2^{2}=10.

Resposta

10

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