Resolva as integrais indefinidas por mudança de variável.
\int \sqrt[3]{1-x^{2}} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x \sqrt[3]{1 - x^{2}}\;dx.
O conteúdo principal aqui é técnica de mudança de variável: como vejo (1 - x^{2}) dentro da raiz de índice 3 e seu derivado está junto de x\,dx, faz sentido usar u = 1 - x^{2}.

Passo 2

Definimos
u = 1 - x^{2}.
Calculamos a diferencial:
du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original,
\int x\,(1 - x^{2})^{1/3}\,dx = \int u^{1/3}\,\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) = -\tfrac12 \int u^{1/3}\,du.

Passo 4

Para integrar \int u^{1/3}\,du, usamos
\int u^{a}\,du = \frac{u^{a+1}}{a+1} + C \quad\text{com}\quad a = \tfrac13,
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\int u^{1/3}\,du = \frac{u^{4/3}}{4/3} = \tfrac34\,u^{4/3}.
Multiplicando por -\tfrac12, obtemos
-\tfrac12 \cdot \tfrac34\,u^{4/3} = -\tfrac38\,u^{4/3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 1 - x^{2} para chegar à resposta em x:
-\tfrac38\,(1 - x^{2})^{4/3} + C.

Resposta

-\frac{3}{8}\,(1 - x^{2})^{4/3} + C.

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