Resolva as integrais indefinidas por mudança de variável.
\int x \operatorname{sec} ^{2}\left(4 x^{2}-5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x \operatorname{sec}^{2}\bigl(4x^{2}-5\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição (mudança de variável) para lidar com função composta.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4x^{2}-5.
Diferenciando, obtemos
du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{8}.

Passo 3

Fazendo a troca na integral original, temos
\int x \operatorname{sec}^{2}\bigl(4x^{2}-5\bigr)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Sabendo que
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u),
a integral torna-se
\frac{1}{8}\tan(u)+C.

Passo 4

Por fim, retornamos à variável x substituindo u=4x^{2}-5:
\frac{1}{8}\tan(u)+C =\frac{1}{8}\tan\bigl(4x^{2}-5\bigr)+C.

Resposta

\frac{1}{8}\tan\bigl(4x^{2}-5\bigr)+C.

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