Resolva as integrais indefinidas por mudança de variável.
\int \frac{8 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{2 / 3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{8x^{2}}{(x^{3}+2)^{2/3}}\,dx
usando mudança de variável. O conteúdo principal aqui é reconhecer uma parte da função como derivada de outra (regra da cadeia) e escolher a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3} + 2.
Então
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{8x^{2}}{(x^{3}+2)^{2/3}}\,dx = \int \frac{8}{u^{2/3}}\;\bigl(x^{2}\,dx\bigr) = \int \frac{8}{u^{2/3}}\;\frac{du}{3} = \frac{8}{3}\int u^{-2/3}\,du.
Agora aplicamos a fórmula de potência:
\int u^{\alpha}du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} \quad\text{com }\alpha=-\tfrac{2}{3},
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\frac{8}{3}\int u^{-2/3}\,du = \frac{8}{3}\;\frac{u^{1/3}}{\tfrac{1}{3}} = 8\,u^{1/3}.

Passo 4

Voltando à variável x, temos
8\,u^{1/3} = 8\,(x^{3}+2)^{1/3}.
Acrescentamos a constante de integração C.

Resposta

8\,(x^{3}+2)^{1/3} + C

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