Resolva as integrais indefinidas por mudança de variável.
\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}
Usaremos a técnica de mudança de variável (substituição), já que vemos x^{3}+2 sob uma raiz e seu diferencial aparece multiplicado por x^2\,dx.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3} + 2.
Isso simplifica a parte dentro da raiz e transforma o integrando em função de u.

Passo 3

Derivando u em relação a x, temos
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 4

Reescrevendo a integral em função de u:
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt[4]{x^{3}+2}} = \int \frac{1}{\sqrt[4]{u}}\cdot\bigl(x^{2}\,dx\bigr) = \int u^{-\tfrac{1}{4}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{-\tfrac{1}{4}}\,du.

Passo 5

Agora integramos usando a regra \int u^{a}\,du = \tfrac{u^{a+1}}{a+1} (para a\neq -1):
\frac{1}{3}\int u^{-\tfrac{1}{4}}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-\tfrac{1}{4}+1}}{-\tfrac{1}{4}+1} = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{\tfrac{3}{4}}}{\tfrac{3}{4}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}\,u^{\tfrac{3}{4}} = \frac{4}{9}\,u^{\tfrac{3}{4}} + C.

Passo 6

Voltando à variável x, substituímos u = x^{3}+2:
\frac{4}{9}\,u^{\tfrac{3}{4}} + C = \frac{4}{9}\,\bigl(x^{3}+2\bigr)^{\tfrac{3}{4}} + C.

Resposta

\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt[4]{x^{3}+2}} = \frac{4}{9}\,\bigl(x^{3}+2\bigr)^{\tfrac{3}{4}} + C.

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