Resolva as integrais indefinidas por mudança de variável.
\int\left(x^{3}+2\right)^{1 / 2} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int (x^{3}+2)^{1/2}\,x^{2}\,dx.
O conteúdo principal é técnica de mudança de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição \,u = x^{3}+2.
Então \,du = 3x^{2}\,dx,
logo \,x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
\int (x^{3}+2)^{1/2}\,x^{2}\,dx = \int u^{1/2}\,\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{3} resulta \tfrac{2}{9}\,u^{3/2}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{9}\,(x^{3}+2)^{3/2} + C

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