Resolva as integrais indefinidas a seguir por frações parciais.
\int \frac{6 x^{2}-15 x+17}{x^{3}-3 x^{2}+4 x-12} d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral indefinida
\int \frac{6 x^{2}-15 x+17}{x^{3}-3 x^{2}+4 x-12}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma função racional: numerador 6x^{2}-15x+17 e denominador x^{3}-3x^{2}+4x-12.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja a integral indefinida.
  • Observação útil (apenas informação): o grau do numerador é 2 e do denominador é 3, então a fração é própria (grau do numerador menor que do denominador). Isso permite tentar decomposição em frações parciais sem divisão prévia.

Passo 2

Fatorar o denominador para preparar a decomposição em frações parciais.
Procuramos raízes racionais possíveis de x^{3}-3x^{2}+4x-12. Testando x=3:
3^{3}-3\cdot3^{2}+4\cdot3-12 = 27-27+12-12 = 0.
Logo x=3 é raiz; portanto (x-3) é um fator. Fazemos divisão polinomial (ou sintética) para obter o fator restante.
Dividindo x^{3}-3x^{2}+4x-12 por x-3 obtemos o quociente x^{2}+4. Assim
x^{3}-3x^{2}+4x-12 = (x-3)(x^{2}+4).

Passo 3

Escolher a forma da decomposição em frações parciais.
Regra: para cada fator linear distinto (x-a) usamos uma constante no numerador; para cada fator quadrático irreduzível x^{2}+b usamos um polinômio de grau 1 no numerador, isto é Bx+C.
No nosso caso temos fatores (x-3) (linear) e (x^{2}+4) (quadrático irreduzível), então assumimos
\frac{6 x^{2}-15 x+17}{(x-3)(x^{2}+4)}=\frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4},
onde A,B,C são constantes a determinar.
Explicação didática rápida: essa forma garante que, somando as frações, recuperamos a fração original. A ideia é transformar a integral de uma fração complicada numa soma de integrais mais simples: logaritmos (para termos 1/(x-a)) e arctangente / substituição (para termos tipo 1/(x^{2}+a^{2}) e x/(x^{2}+a^{2})).

Passo 4

Determinar A,B,C multiplicando ambos os lados por (x-3)(x^{2}+4) e igualando coeficientes.
Multiplicando,
6x^{2}-15x+17 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)(x-3).
Expandindo o lado direito:
A x^{2} + 4A + (Bx+C)(x-3) = A x^{2} + 4A + Bx^{2} -3Bx + Cx -3C.
Agrupando termos semelhantes:
(A+B)x^{2} + (-3B + C)x + (4A - 3C).
Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo 6x^{2}-15x+17, obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+B = 6,\\[4pt] -3B + C = -15,\\[4pt] 4A - 3C = 17. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para A,B,C.
Da primeira equação temos A = 6 - B.
Substituindo na terceira equação:
4(6-B) - 3C = 17 \quad\Rightarrow\quad 24 - 4B - 3C = 17,
logo
-4B -3C = -7 \quad\Rightarrow\quad 4B + 3C = 7.
Da segunda equação temos C = -15 + 3B. Substituindo em 4B + 3C = 7:
4B + 3(-15 + 3B) = 7 \quad\Rightarrow\quad 4B -45 + 9B = 7,
13B -45 = 7 \quad\Rightarrow\quad 13B = 52 \quad\Rightarrow\quad B = 4.
Com B=4 obtemos C = -15 + 3\cdot4 = -15 +12 = -3.
E A = 6 - B = 6 - 4 = 2.
Portanto A=2, B=4, C=-3.

Passo 6

Escrever a decomposição encontrada e preparar a integração.
Substituindo A,B,C na decomposição:
\frac{6 x^{2}-15 x+17}{(x-3)(x^{2}+4)} = \frac{2}{x-3} + \frac{4x-3}{x^{2}+4}.
Logo a integral se separa:
\int \frac{6 x^{2}-15 x+17}{x^{3}-3x^{2}+4x-12}\,dx = \int \frac{2}{x-3}\,dx + \int \frac{4x-3}{x^{2}+4}\,dx.
Agora vamos integrar cada parcela.

Passo 7

Integrar cada termo explicando as técnicas.
  1. Termo \displaystyle \int \frac{2}{x-3}\,dx.
Fórmula usada: \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. Aqui temos constante 2 multiplicando, então
\int \frac{2}{x-3}\,dx = 2\ln|x-3|.
  1. Termo \displaystyle \int \frac{4x-3}{x^{2}+4}\,dx.
Separei em duas integrais:
\int \frac{4x}{x^{2}+4}\,dx \;-\; \int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx.
  • Para \displaystyle \int \frac{4x}{x^{2}+4}\,dx: faça a substituição u = x^{2}+4. Então du = 2x\,dx, ou 4x\,dx = 2\,du. Assim
\int \frac{4x}{x^{2}+4}\,dx = \int \frac{2\,du}{u} = 2\ln|u| + C = 2\ln(x^{2}+4).
Observação: x^{2}+4>0 sempre, então poderíamos escrever sem valor absoluto, mas a forma \ln(x^{2}+4) é válida.
  • Para \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx: reconhecemos a forma padrão \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C. Aqui a^{2}=4 então a=2. Portanto
\int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx = 3\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Com sinal negativo (porque tínhamos -\int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx) isso dá -\dfrac{3}{2}\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right).

Passo 8

Juntar todas as partes e escrever a primitiva completa.
Somando os resultados obtidos:
\int \frac{6 x^{2}-15 x+17}{x^{3}-3x^{2}+4x-12}\,dx = 2\ln|x-3| + 2\ln(x^{2}+4) - \frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
Podemos, se quisermos, combinar os dois logaritmos em um só:
2\ln|x-3| + 2\ln(x^{2}+4) = 2\ln\bigl(|x-3|(x^{2}+4)\bigr),
mas tanto a forma separada quanto a combinada estão corretas.

Resposta

2\ln|x-3| + 2\ln(x^{2}+4) - \frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C

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