Temos uma função racional: numerador 6x^{2}-15x+17 e denominador x^{3}-3x^{2}+4x-12.
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja a integral indefinida.
Observação útil (apenas informação): o grau do numerador é 2 e do denominador é 3, então a fração é própria (grau do numerador menor que do denominador). Isso permite tentar decomposição em frações parciais sem divisão prévia.
Passo 2
Fatorar o denominador para preparar a decomposição em frações parciais.
Procuramos raízes racionais possíveis de x^{3}-3x^{2}+4x-12. Testando x=3:
3^{3}-3\cdot3^{2}+4\cdot3-12 = 27-27+12-12 = 0.
Logo x=3 é raiz; portanto (x-3) é um fator. Fazemos divisão polinomial (ou sintética) para obter o fator restante.
Dividindo x^{3}-3x^{2}+4x-12 por x-3 obtemos o quociente x^{2}+4. Assim
x^{3}-3x^{2}+4x-12 = (x-3)(x^{2}+4).
Passo 3
Escolher a forma da decomposição em frações parciais.
Regra: para cada fator linear distinto (x-a) usamos uma constante no numerador; para cada fator quadrático irreduzível x^{2}+b usamos um polinômio de grau 1 no numerador, isto é Bx+C.
No nosso caso temos fatores (x-3) (linear) e (x^{2}+4) (quadrático irreduzível), então assumimos
Explicação didática rápida: essa forma garante que, somando as frações, recuperamos a fração original. A ideia é transformar a integral de uma fração complicada numa soma de integrais mais simples: logaritmos (para termos 1/(x-a)) e arctangente / substituição (para termos tipo 1/(x^{2}+a^{2}) e x/(x^{2}+a^{2})).
Passo 4
Determinar A,B,C multiplicando ambos os lados por (x-3)(x^{2}+4) e igualando coeficientes.
Multiplicando,
6x^{2}-15x+17 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)(x-3).
Expandindo o lado direito:
A x^{2} + 4A + (Bx+C)(x-3) = A x^{2} + 4A + Bx^{2} -3Bx + Cx -3C.
Agrupando termos semelhantes:
(A+B)x^{2} + (-3B + C)x + (4A - 3C).
Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo 6x^{2}-15x+17, obtemos o sistema linear:
Observação: x^{2}+4>0 sempre, então poderíamos escrever sem valor absoluto, mas a forma \ln(x^{2}+4) é válida.
Para \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx: reconhecemos a forma padrão \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C. Aqui a^{2}=4 então a=2. Portanto