Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
Não há outras condições (constante de integração
aparece no final). A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função usando o método da substituição.
Passo 2
O método da substituição serve para integrar funções compostas do tipo
. A ideia é:
- identificar a “parte interna”
(aquela que está elevada a uma potência, dentro de parênteses, ou usada dentro de outra função); - fazer
e calcular ; - reescrever toda a integral em termos de
e (sem nem ); - integrar em
(o que costuma ser mais simples); - voltar substituindo
por .
Aqui, a parte interna visível é, então vamos aplicá-la.
Passo 3
Escolhemos a substituição
Agora derivamos ambos os lados em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Isolamos
em função de
:
Substituímos
e
na integral original:
Colocando o fator constante fora da integral:
Passo 5
Agora integramos em
. Lembrando a regra de potência para antiderivadas: se
, então
Aqui
, logo
Multiplicando pelo fator
que tiramos fora:
Passo 6
Verificação rápida: derivando
em relação a
usando a regra da cadeia, temos
e como
isso devolve
, que é o integrando original. A antiderivada em termos de
está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: ao ver
sem outros fatores complicando, escolha
. Sempre verifique se ao derivar
você obtém um fator constante que pode ser facilmente tratado (aqui deu
, que virou
ao isolar
). Isso torna a técnica rápida e confiável.