Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int(3 x-12)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int(3 x-12)^{4}\,d x.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Integrando: }(3 x-12)^{4}\qquad\text{e}\qquad\text{variável de integração: }x.áçã
Não há outras condições (constante de integração C aparece no final). A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função usando o método da substituição.

Passo 2

O método da substituição serve para integrar funções compostas do tipo \,f(g(x))\cdot g'(x)\,. A ideia é:
  1. identificar a “parte interna” g(x) (aquela que está elevada a uma potência, dentro de parênteses, ou usada dentro de outra função);
  2. fazer u=g(x) e calcular du=g'(x)\,dx;
  3. reescrever toda a integral em termos de u e du (sem x nem dx);
  4. integrar em u (o que costuma ser mais simples);
  5. voltar substituindo u por g(x).
    Aqui, a parte interna visível é 3x-12, então vamos aplicá-la.

Passo 3

Escolhemos a substituição
u = 3x - 12.
Agora derivamos ambos os lados em relação a x para encontrar du:
\frac{du}{dx} = 3 \quad\Rightarrow\quad du = 3\,dx.

Passo 4

Isolamos dx em função de du:
dx = \frac{du}{3}.
Substituímos u e dx na integral original:
\int(3 x-12)^{4}\,dx = \int u^{4}\cdot\frac{du}{3}.
Colocando o fator constante fora da integral:
\int u^{4}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{4}\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. Lembrando a regra de potência para antiderivadas: se \,n\neq -1, então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=4, logo
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} que tiramos fora:
\frac{1}{3}\int u^{4}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{u^{5}}{15} + C.

Passo 6

Verificação rápida: derivando \frac{u^{5}}{15} em relação a x usando a regra da cadeia, temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u^{5}}{15}\right) = \frac{5u^{4}}{15}\cdot\frac{du}{dx} = \frac{u^{4}}{3}\cdot 3 = u^{4},
e como u=3x-12 isso devolve (3x-12)^{4}, que é o integrando original. A antiderivada em termos de u está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: ao ver (a x + b)^{n} sem outros fatores complicando, escolha u=ax+b. Sempre verifique se ao derivar u você obtém um fator constante que pode ser facilmente tratado (aqui deu 3, que virou \tfrac{1}{3} ao isolar dx). Isso torna a técnica rápida e confiável.

Resposta

\frac{(3x-12)^{5}}{15} + C

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