Resolva as integrais mostradas abaixo:
\text{©} \int_{0}^{\infty} f(t) \delta(t-a) d t, \quad a>0)

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int_{0}^{\infty}f(t)\,\delta(t-a)\,dt
onde \delta é a distribuição de Dirac e a>0. O conteúdo principal aqui é a propriedade de amostragem (ou “sifting property”) da delta de Dirac, que nos diz como a integral “seleciona” o valor de f no ponto em que seu argumento zera.

Passo 2

A propriedade de amostragem da delta de Dirac afirma que, para uma função suficientemente bem-comportada f e um ponto a,
\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,\delta(t-a)\,dt = f(a).
Quando os limites de integração são de 0 a \infty, a mesma propriedade vale desde que a esteja nesse intervalo. Como dado a>0, temos a\in[0,\infty), e portanto
\int_{0}^{\infty}f(t)\,\delta(t-a)\,dt = f(a).

Resposta

f(a)

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