Resolva as integrais a seguir.
integral ln (x)x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a integral integral ln(x)x , dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando substituição. Para resolver, vamos precisar lembrar como fazer uma substituição simples em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Aqui, temos ln(x) dividido por x. Uma boa estratégia é escolher u = ln(x), porque a derivada de ln(x) é 1x, que já está presente na integral.

Passo 3

Com u = ln(x), vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 1x
Isso significa que du = 1x , dx. Observamos que 1x , dx está exatamente na nossa integral original.

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
integral ln(x)x , dx = integral u , du
Isso simplifica bastante a integral, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 5

A próxima etapa é integrar u , du. Sabemos que a integral de u em relação a u é:
integral u , du = u^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = ln(x):
u^22 + C = (ln(x))^22 + C

Resposta

Portanto, a integral integral ln(x)x , dx é igual a (ln(x))^22 + C.

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