Resolva as integrais a seguir:
integral tg(2 x) d x

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A questão pede para resolver a integral de tg(2x) em relação a x. Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando a variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tg(2x) é a tangente de 2x, e sabemos que a integral da tangente é integral tg(u) , du = -ln|cos(u)| + C. Mas aqui temos 2x dentro da tangente, então precisamos aplicar a substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja u = 2x. Assim, a derivada de u em relação a x é dudx = 2, ou seja, dx = du2.

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
integral tg(2x) , dx = integral tg(u) cdot du2 = 12 integral tg(u) , du

Passo 5

Sabemos que integral tg(u) , du = -ln|cos(u)| + C. Então, substituindo de volta, temos:
12 ( -ln|cos(u)| ) + C = -12 ln|cos(u)| + C

Passo 6

Finalmente, voltando para x, já que u = 2x, a solução fica:
-12 ln|cos(2x)| + C

Resposta

A integral de tg(2x) , dx é -12 ln|cos(2x)| + C.

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