Resolva as integrais a seguir:
integral[cotg(e^x)] e^x d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos resolver a integral de cot(e^x) vezes e^x em relação a x. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, que é muito útil para simplificar integrais onde temos uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável t igual a e^x:
t = e^x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de t , ou seja, dt . Derivando t = e^x em relação a x :
dt = e^x dx
Isso significa que:
dx = dte^x
Mas como t = e^x , podemos substituir:
dx = dtt

Passo 4

Vamos substituir t e dx na integral original:
integral cot(e^x) cdot e^x dx = integral cot(t) cdot t cdot dtt = integral cot(t) dt
Aqui, o t no numerador e denominador cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, precisamos resolver integral cot(t) dt. A integral de cot(t) é conhecida:
integral cot(t) dt = ln|sin(t)| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original x . Lembrando que t = e^x , então:
ln|sin(t)| + C = ln|sin(e^x)| + C

Resposta

A integral é igual a ln|sin(e^x)| + C .

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