Resolva as integrais a seguir:
Passo 1
Fala! Vamos resolver a integral
. Esse problema está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente em técnicas de integração envolvendo substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral:
. Notamos que o numerador é
e o denominador é
. Uma boa estratégia aqui é fazer uma substituição que envolva a função
, já que a derivada de
é
, que aparece no numerador.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
como sendo igual a
:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, a integral está em termos de
, o que é mais fácil de resolver.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
:
Simplificando, obtemos:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Podemos também escrever isso usando a função secante, já que
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.