Resolva as integrais a seguir:
integral sen(x)cos ^3(x) d x

Passo 1

Fala! Vamos resolver a integral integral sin(x)cos^3(x) , dx. Esse problema está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente em técnicas de integração envolvendo substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: sin(x)cos^3(x). Notamos que o numerador é sin(x) e o denominador é cos^3(x). Uma boa estratégia aqui é fazer uma substituição que envolva a função cos(x), já que a derivada de cos(x) é -sin(x), que aparece no numerador.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u como sendo igual a cos(x):
u = cos(x)
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx:
dudx = -sin(x)
Isso nos permite expressar sin(x) , dx em termos de du:
sin(x) , dx = -du

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral sin(x)cos^3(x) , dx = integral -duu^3 = -integral u^-3 , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar u^-3 em relação a u:
- integral u^-3 , du = - ( u^-2-2 ) + C = u^-22 + C
Simplificando, obtemos:
12u^2 + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original x substituindo u = cos(x):
12cos^2(x) + C
Podemos também escrever isso usando a função secante, já que sec(x) = 1cos(x):
sec^2(x)2 + C

Resposta

A integral integral sin(x)cos^3(x) , dx é igual a sec^2(x)2 + C, onde C é a constante de integração.

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