Resolva as integrais a seguir:
integral d xcos ^2(x+1) raiztg(x+1)

Passo 1

Vamos resolver a integral integral dxcos^2(x+1) raiztan(x+1).
Conteúdo: Este exercício envolve cálculo de integrais utilizando funções trigonométricas e técnicas de substituição.
O que vamos precisar: Conhecer identidades trigonométricas básicas, entender como fazer substituições adequadas e manipular expressões de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral fazendo uma substituição inteligente. Vamos definir:
u = tan(x + 1)
Isso vai nos ajudar a tornar a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Sabemos que:
dudx = sec^2(x + 1)
Portanto,
du = sec^2(x + 1) dx
Isso significa que:
dx = dusec^2(x + 1)
Mas como sec^2(x + 1) = 1cos^2(x + 1) , podemos reescrever:
dx = cos^2(x + 1) du

Passo 4

Vamos substituir dx e tan(x + 1) na integral original:
integral dxcos^2(x + 1) raiztan(x + 1) = integral cos^2(x + 1) ducos^2(x + 1) raizu = integral duraizu

Passo 5

Agora, resolvemos a integral mais simples:
integral duraizu = integral u^-1/2 du = 2u^1/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = tan(x + 1) :
2u^1/2 + C = 2raiztan(x + 1) + C

Resposta

A integral é igual a 2raiztan(x + 1) + C .

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