Resolva as integrais a seguir:
integral arccos ^2(x)raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral arccos^2(x)raiz1 - x^2,dx
O conteúdo principal aqui é usar substituição envolvendo a função inversa arccos(x), pois sua derivada gera o fator 1/raiz1-x^2 presente no integrando.

Passo 2

Definimos a substituição
t = arccos(x)
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos
dtdx = -1raiz1 - x^2,
ou seja
dx = -raiz1 - x^2;dt
Repare que, isolando dx/raiz1-x^2, obtemos
dxraiz1 - x^2 = -,dt

Passo 3

Substituindo na integral original, note que arccos(x)=t e dx/raiz1-x^2=-dt. Logo
integral arccos^2(x)raiz1 - x^2,dx = integral t^2,l(-dtr) = -integral t^2,dt
Agora integramos em t:
-integral t^2,dt = -t^33 + C

Passo 4

Voltando à variável original x com t = arccos(x), a primitiva fica
-13,l(arccos(x)r)^3 + C

Resposta

boxed integral arccos^2(x)raiz1 - x^2,dx = -13,l(arccos(x)r)^3 + C

Exercícios relacionados