Resolva as integrais a seguir:
integral d x2 x^2+5

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral dx2x^2+5. Estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração que envolvem funções do tipo 1ax^2+b, que geralmente envolvem a função arco-tangente ( arctan).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador para facilitar a integração. Observe que 2x^2 + 5 pode ser reescrito como 2(x^2 + 52). Então, a integral fica:
integral dx2x^2+5 = integral dx2(x^2 + 52) = 12 integral dxx^2 + 52

Passo 3

Agora, temos uma integral no formato integral dxx^2 + a^2, onde a^2 = 52. Sabemos que a integral desse tipo é:
integral dxx^2 + a^2 = 1a arctan(xa) + C
Aqui, C é a constante de integração que sempre adicionamos quando integramos.

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de a. Sabemos que a^2 = 52, então:
a = raiz52 = raiz102

Passo 5

Substituindo a na fórmula da integral, temos:
12 integral dxx^2 + 52 = 12 cdot 1raiz102 arctan(xraiz102) + C
Simplificando:
= 12 cdot 2raiz10 arctan(2xraiz10) + C = 1raiz10 arctan(2xraiz10) + C

Resposta

A integral integral dx2x^2+5 é igual a:
1raiz10 arctan(2xraiz10) + C
onde C é a constante de integração.

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