Resolva as integrais a seguir:
integral sen(2 x)(1+cos (2 x))^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
integral sen(2x)l(1+cos(2x)r)^2,dx
O conteúdo é integração por substituição, aproveitando que a derivada de cos(2x) envolve sen(2x).

Passo 2

Note que, se definirmos
u = 1 + cos(2x),
então
du = -2,sen(2x),dx Longrightarrow sen(2x),dx = -12,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral sen(2x)l(1+cos(2x)r)^2,dx = integral -tfrac12,duu^2 = -12 integral u^-2,du

Passo 4

Calcule a integral em u:
-12 integral u^-2,du = -12 cdot l(tfracu^-1-1r) + C = 12u + C

Passo 5

Volte à variável x. Como u = 1+cos(2x), temos
12u + C = 12l(1+cos(2x)r) + C
Opcionalmente, usando 1+cos(2x)=2cos^2(x), resulta
12cdot2cos^2(x) + C = 14sec^2(x) + C

Resposta

integral sen(2x)l(1+cos(2x)r)^2,dx = 12l(1+cos(2x)r) + C ou 14sec^2(x) + C

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