Sejam as funções
a) y=2 x+6
b) y=-x^2-2 x+1
c) y=3-raiz3 x-2
d) y=x-84-x
Encontrar a equação da reta tangente e reta normal as funções acima em x=2.

Passo 1

O enunciado pede, para cada função y=f(x) dada em (a) a (d), as retas tangente e normal ao gráfico em x=2. Para isso vamos:
  1. Calcular f'(x).
  2. Avaliar m=f'(2) e y0=f(2), obtendo o ponto P=(2,y0).
  3. Escrever a reta tangente em forma ponto-inclinação y - y0 = m,(x-2)
  4. Obter a reta normal usando a inclinação -1/m: y - y0 = -1m,(x-2)

Passo 2

Para y=2x+6:
Derivada
y'=2
Em x=2, m=2 e y0=2cdot2+6=10.
Reta tangente
y-10=2(x-2)Longrightarrow y=2x+6
Reta normal (inclinação -tfrac12)
y-10=-tfrac12(x-2)Longrightarrow y=-tfrac12x+11

Passo 3

Para y=-x^2-2x+1:
Derivada
y'=-2x-2
Em x=2, m=-2cdot2-2=-6 e y0=-(2)^2-2cdot2+1=-4-4+1=-7.
Reta tangente
y+7=-6(x-2)Longrightarrow y=-6x+5
Reta normal (inclinação tfrac16)
y+7=tfrac16(x-2)Longrightarrow y=tfrac16x-tfrac196

Passo 4

Para y=3-raiz3x-2:
Derivada (cadeia)
y'=-12raiz3x-2cdot3=-32raiz3x-2
Em x=2, raiz3cdot2-2=raiz4=2, logo m=-tfrac34 e y0=3-2=1.
Reta tangente
y-1=-tfrac34(x-2)Longrightarrow y=-tfrac34x+tfrac52
Reta normal (inclinação tfrac43)
y-1=tfrac43(x-2)Longrightarrow y=tfrac43x-tfrac53

Passo 5

Para y=x-84-x:
Derivada (quociente)
y'=(1)(4-x)-(x-8)(-1)(4-x)^2 =4-x+x-8(4-x)^2 =-4(4-x)^2
Em x=2, (4-2)^2=4 m=-1 e y0=tfrac2-84-2=-3.
Reta tangente
y+3=-1,(x-2)Longrightarrow y=-x-1
Reta normal (inclinação 1)
y+3=1,(x-2)Longrightarrow y=x-5

Resposta

a) Tangente: y=2x+6. Normal: y=-tfrac12x+11.
b) Tangente: y=-6x+5. Normal: y=tfrac16x-tfrac196.
c) Tangente: y=-tfrac34x+tfrac52. Normal: y=tfrac43x-tfrac53.
d) Tangente: y=-x-1. Normal: y=x-5.

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