Resolva as integrais a seguir:
integral 3^x^2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 3^x^2 cdot x , dx . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções exponenciais com uma variável no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observamos que temos x^2 no expoente de 3 e também um x multiplicando. Vamos definir uma nova variável:
u = x^2
Agora, precisamos derivar u em relação a x para encontrar du :
dudx = 2x
Isso significa que:
du = 2x , dx
Queremos expressar x , dx em termos de du :
x , dx = du2

Passo 3

Substituímos u = x^2 e x , dx = du2 na integral original:
integral 3^x^2 cdot x , dx = integral 3^u cdot du2
Podemos tirar a constante 12 para fora da integral:
12 integral 3^u , du

Passo 4

Agora, precisamos integrar 3^u em relação a u . A integral de a^u é dada por:
integral a^u , du = a^uln a + C
Onde a = 3 no nosso caso. Aplicando essa fórmula:
12 cdot 3^uln 3 + C

Passo 5

Finalmente, substituímos u = x^2 de volta na expressão:
3^x^22 ln 3 + C

Resposta

integral 3^x^2 cdot x , dx = 3^x^22 ln 3 + C

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