Resolva as integrais a seguir:
integral e^xraiz1-e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
integral e^xraiz1 - e^2x,dx
O conteúdo-chave aqui é usar substituição para transformar essa integral numa forma padrão envolvendo integral duraiz1-u^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x
Então
du = e^x,dx,
ou seja, e^x,dx = du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral e^xraiz1 - e^2x,dx = integral duraiz1 - u^2
Agora temos a forma padrão de arco seno.

Passo 4

Sabemos que
ddul(arcsin(u)r) = 1raiz1 - u^2
Logo
integral duraiz1 - u^2 = arcsin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u = e^x. Portanto a primitiva é
arcsinl(e^xr) + C

Resposta

integral e^xraiz1 - e^2x,dx = arcsinl(e^xr) + C

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