Resolva as integrais a seguir:
integral d x2 sen^2(x)+3 cos ^2(x)

Passo 1

A gente quer calcular a integral
integral dx2sin^2(x)+3cos^2(x)
Isso cai no conteúdo de integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar identidades trig e mudança de variável (substituição de tan).

Passo 2

Primeiro, divido numerador e denominador por cos^2(x) para aparecer tan e sec:
12sin^2(x)+3cos^2(x) = 1/cos^2(x)2tan^2(x)+3 = sec^2(x)2tan^2(x)+3
Assim a integral vira
integral sec^2(x),dx2tan^2(x)+3

Passo 3

Agora faço a substituição u=tan(x). Da derivada de tan vem
du=sec^2(x),dx,
e a integral em x passa a ser em u:
integral sec^2(x),dx2tan^2(x)+3 = integral du2u^2+3

Passo 4

Para integrar integraldu2u^2+3, fatoro o 2:
2u^2+3 = 2l(u^2+32r)
Então
integral du2u^2+3 = 12integral duu^2+(raiz3/2)^2

Passo 5

Usando a fórmula padrão
integral duu^2+a^2 = 1aarctanl(uar)+C,
com a=raiz3/2, temos
12cdot 1raiz3/2arctanl(uraiz3/2r)+C = 1raiz6arctanl(raiztfrac23,ur)+C
Voltando u=tan(x), o resultado final é
1raiz6arctanl(raiztfrac23tan(x)r)+C

Resposta

1raiz6arctanl(raiztfrac23,tan(x)r)+C

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