Resolva as seguintes EDO
t y^prime-4 t^2=-2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você trouxe:
t , dydt - 4 t^2 = -2 y
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar o método do fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para o formato padrão de uma EDO linear:
dydt + P(t) , y = Q(t)
Isso facilita aplicar o método que vamos usar. Para isso, dividimos todos os termos da equação original por t :
dydt - 2t , y = 4 t

Passo 3

Agora, identificamos as funções P(t) e Q(t) na equação reorganizada:
P(t) = -2t e Q(t) = 4 t
Essas funções são importantes para encontrar o fator integrante, que nos ajudará a resolver a equação.

Passo 4

O próximo passo é calcular o fator integrante, mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Vamos calcular essa integral:
integral P(t) , dt = integral -2t , dt = -2 ln |t|
Então,
mu(t) = e^-2 ln |t| = t^-2

Passo 5

Multiplicamos toda a equação reorganizada pelo fator integrante mu(t) :
t^-2 dydt - 2t t^-2 y = 4 t cdot t^-2
Simplificando:
t^-2 dydt - 2 t^-3 y = 4 t^-1

Passo 6

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto mu(t) y :
ddt (t^-2 y) = 4 t^-1
Isso simplifica a resolução, pois agora temos uma integral direta para resolver.

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a t :
integral ddt (t^-2 y) , dt = integral 4 t^-1 , dt
O lado esquerdo fica:
t^-2 y
E o lado direito:
4 ln |t| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para y :
y = t^2 (4 ln |t| + C)
Podemos simplificar a expressão final:

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = t^2 (4 ln t + C)
onde C é uma constante arbitrária.

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