Resolva as integrais a seguir.
integral1^9 3 x-2raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral1^9 3x - 2raizx , dx. O conteúdo aqui envolve Cálculo Integral, especificamente integração de funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar saber como quebrar a fração e integrar cada parte separadamente. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos 3x - 2raizx. Podemos dividir isso em dois termos separados:
3xraizx - 2raizx

Passo 3

Agora, simplificamos cada termo. Lembre-se que raizx = x^1/2, então:
3xx^1/2 = 3x^1 - 1/2 = 3x^1/2
2x^1/2 = 2x^-1/2
Então, a integral fica:
integral1^9 (3x^1/2 - 2x^-1/2) dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para x^n é:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso aos nossos termos:
integral 3x^1/2 dx = 3 cdot x^1/2 + 11/2 + 1 = 3 cdot x^3/23/2 = 2x^3/2
integral -2x^-1/2 dx = -2 cdot x^-1/2 + 1-1/2 + 1 = -2 cdot x^1/21/2 = -4x^1/2

Passo 5

Agora, juntamos as integrais:
2x^3/2 - 4x^1/2 + C
Como é uma integral definida de 1 a 9, vamos calcular o valor final substituindo os limites.

Passo 6

Substituímos x = 9:
2 cdot 9^3/2 - 4 cdot 9^1/2 = 2 cdot 27 - 4 cdot 3 = 54 - 12 = 42
Substituímos x = 1:
2 cdot 1^3/2 - 4 cdot 1^1/2 = 2 cdot 1 - 4 cdot 1 = 2 - 4 = -2

Resposta

A integral vale 42 - (-2) = 44.

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