Resolva as integrais a seguir.
integral d tcos ^2(t) raiz1+tg(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a integral
integral dtcos^2(t) raiz1 + tan(t)
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições inteligentes e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observe que na expressão da integral temos tan(t). Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar:
u = tan(t)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a t para substituir dt na integral. Sabemos que a derivada de tan(t) é:
dudt = sec^2(t) = 1cos^2(t)
Então, rearranjando para dt:
dt = cos^2(t) du

Passo 4

Substituímos u e dt na integral original:
integral dtcos^2(t) raiz1 + tan(t) = integral cos^2(t) ducos^2(t) raiz1 + u = integral duraiz1 + u
Isso simplifica bastante a integral!

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral:
integral duraiz1 + u = integral (1 + u)^-1/2 du
Essa é uma integral padrão que podemos resolver usando a regra de potência.

Passo 6

Integrando, temos:
integral (1 + u)^-1/2 du = 2 raiz1 + u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original t. Lembrando que u = tan(t), substituímos de volta:
2 raiz1 + tan(t) + C

Resposta

A integral é igual a
2 raiz1 + tan(t) + C

Exercícios relacionados