Resolva as integrais a seguir.
integral d xx^3 raizx^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxx^3raizx^2-1
O conteúdo envolvido é técnica de substituição trigonométrica para expressões da forma raizx^2-1.

Passo 2

Fazemos a substituição típica para raizx^2-1:
x = sectheta, raizx^2-1 = tantheta, dx = sectheta,tantheta,dtheta
Substituindo no integrando:
integral dxx^3raizx^2-1 = integral sectheta,tantheta,dthetasec^3thetacdottantheta = integral cos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade
cos^2theta = 1+cos2theta2
Logo,
integral cos^2theta,dtheta = 12integral (1+cos2theta),dtheta = theta2 + sin2theta4 + C

Passo 4

Fazendo o retorno à variável :
então
Substituindo em obtemos

Resposta

integral dxx^3raizx^2-1 = 12arccos!l(1xr) + raizx^2-12x^2 + C

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