Resolva as integrais a seguir.
I=integral e^5 x d x(e^2 x+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte integral:
I = integral e^5x, dx(e^2x + 1)^2
Para resolver isso, vamos usar um método de substituição, que é uma técnica fundamental em cálculo para simplificar integrais complicadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável t da seguinte forma:
t = e^x
Isso significa que e^x é substituído por t , e precisamos expressar dx em termos de dt . Derivando ambos os lados em relação a x :
dtdx = e^x
dx = dte^x = dtt

Passo 3

Agora, vamos reescrever toda a integral em termos de t . Primeiro, substituímos e^x e dx :
  • e^5x = (e^x)^5 = t^5
  • e^2x = (e^x)^2 = t^2
  • dx = dtt
Substituindo na integral:
I = integral t^5 cdot dtt(t^2 + 1)^2
I = integral t^4(t^2 + 1)^2 , dt

Passo 4

Agora, precisamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos dividir t^4 por (t^2 + 1)^2 :
t^4(t^2 + 1)^2 = (t^2)^2(t^2 + 1)^2
Podemos expandir o numerador:
(t^2)^2 = t^4
(t^2 + 1)^2 = t^4 + 2t^2 + 1
Mas, para simplificar a integração, vamos usar uma técnica de decomposição:
t^4(t^2 + 1)^2 = 1 - 2t^2 + 1 + 1(t^2 + 1)^2
Isso facilita a integração, pois agora temos termos mais simples para integrar.

Passo 5

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Para o terceiro termo, usamos uma fórmula padrão de integração que diz:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Agora, combinando todos os termos integrados, temos:
I = t - 2 tan^-1(t) + t2(t^2 + 1) + 12 tan^-1(t) + C
I = t - 32 tan^-1(t) + t2(t^2 + 1) + C

Passo 7

Finalmente, vamos voltar à variável original x . Lembrando que t = e^x , substituímos t de volta:
I = e^x - 32 tan^-1(e^x) + e^x2(e^2x + 1) + C

Resposta

A integral resolvida é:
I = e^x - 32 tan^-1(e^x) + e^x2(e^2x + 1) + C
onde C é a constante de integração.

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