Resolva as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte integral:
Para resolver isso, vamos usar um método de substituição, que é uma técnica fundamental em cálculo para simplificar integrais complicadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
da seguinte forma:
Isso significa que
é substituído por
, e precisamos expressar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos reescrever toda a integral em termos de
. Primeiro, substituímos
e
:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, precisamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos dividir
por
:
Podemos expandir o numerador:
Mas, para simplificar a integração, vamos usar uma técnica de decomposição:
Isso facilita a integração, pois agora temos termos mais simples para integrar.
Passo 5
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Para o terceiro termo, usamos uma fórmula padrão de integração que diz:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Agora, combinando todos os termos integrados, temos:
Passo 7
Finalmente, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos
de volta:
Resposta
A integral resolvida é:
onde
é a constante de integração.