Resolva as integrais a seguir.
integral sen(x)1+cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin(x)1+cos^2(x),dx
O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais trigonométricas e a antiderivada de 11+u^2, que é arctan(u).

Passo 2

Note que a derivada de cos(x) é -sin(x). Isso sugere a substituição
u = cos(x),
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du = -sin(x),dx Longrightarrow sin(x),dx = -du

Passo 3

Substituindo em integral sin(x)1+cos^2(x),dx obtemos
integral sin(x)1+cos^2(x),dx = integral -,du1+u^2 = -integral du1+u^2

Passo 4

Sabendo que
ddul(arctan(u)r)=11+u^2,
temos
- integral du1+u^2 = -,arctan(u) + C

Passo 5

Voltando à variável x, com u=cos(x), a primitiva fica
-,arctanl(cos(x)r) + C

Resposta

-,arctanl(cos(x)r) + C

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