Resolva as integrais a seguir.
integral0^1(1-t)(1+t) d t

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral, mais especificamente, vamos resolver a integral definida de $ (1 - t)(1 + t) $ no intervalo de 0 a 1. Para isso, vamos precisar entender como expandir expressões algébricas e aplicar as regras básicas de integração. Vamos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos $ (1 - t)(1 + t) $. Isso parece com a fórmula da diferença de quadrados, que é $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $. Aplicando isso aqui:
(1 - t)(1 + t)

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão, a integral fica mais fácil de resolver:
integral0^1 (1 - t^2) , dt
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^1 1 , dt - integral0^1 t^2 , dt

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente. A integral de 1 em relação a $ t $ é simplesmente $ t $, e a integral de $ t^2 $ é $ \frac{t^3}{3} $.
Então:
t
t

Passo 5

Agora, subtraímos os resultados das duas integrais:
1 - 13 = 33 - 13 = 23

Resposta

O valor da integral $ \int_{0}^{1} (1 - t)(1 + t) , dt $ é $ \frac{2}{3} $.

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