Resolva as integrais usando frações parciais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^2+x+1(x^2+1)^2,dx usando frações parciais. Vamos usar decomposição em termos de Ax^2+1 e Bx+C(x^2+1)^2.

Passo 2

Assumimos que
x^2+x+1(x^2+1)^2=Ax^2+1+Bx+C(x^2+1)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)^2, obtemos
x^2+x+1 = A(x^2+1)+(Bx+C)

Passo 4

Comparando coeficientes em x^2,x e termo constante:
Para x^2: A=1.
Para x: B=1.
Para termo constante: A+C=1 implica 1+C=1 logo C=0.

Passo 5

Substituindo de volta, a integral fica
integral 1x^2+1,dx + integral x(x^2+1)^2,dx

Passo 6

Calculamos separadamente:
  1. integral 1x^2+1,dx=arctan(x)+C1
  2. Para integral x(x^2+1)^2,dx, fazemos u=x^2+1, du=2x,dx, logo x,dx=du/2. A integral vira
12integral u^-2,du = -12u+C2 = -12(x^2+1)+C2

Passo 7

Somando 1) e 2) e absorvendo constantes em C, concluímos a primitiva.

Resposta

arctan(x)-12,(x^2+1)+C

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