Resolva as integrais usando frações parciais.
integral 2 x+3x^3+6 x^2+9 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x+3x^3+6x^2+9x,dx
usando frações parciais. Para isso, vamos fatorar o denominador e escrever o integrando como soma de termos mais simples cuja antiderivada conhecemos.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3+6x^2+9x = x,(x^2+6x+9) = x,(x+3)^2
Logo, propomos a decomposição
2x+3x,(x+3)^2 = Ax + Bx+3 + C(x+3)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
Expandindo,
Comparando coeficientes:
Da terceira equação vem . Finalmente,

Passo 4

Substituindo de volta, a integral fica
integral 2x+3x,(x+3)^2,dx = integral l(tfrac131x - tfrac131x+3 + 1(x+3)^2r),dx
Agora integramos termo a termo:
integral 13,dxx = tfrac13lnlvert xrvert, integral -13,dxx+3 = -tfrac13lnlvert x+3rvert,
integral dx(x+3)^2 = -1x+3

Resposta

integral 2x+3x^3+6x^2+9x,dx = 13lnllvert xrrvert - 13lnllvert x+3rrvert - 1x+3 + C

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