Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
\int \frac{\sqrt{x{2}-a{2}} d x}{x}

Passo 1

Resumo: temos a integral
integral raizx^2-a^2x,dx
O conteúdo é técnica de integração por substituição trigonométrica para eliminar a raiz. Vamos usar a substituição x=asectheta.

Passo 2

Com x=asectheta segue
dx = asecthetatantheta,dtheta,
e
raizx^2-a^2 = raiza^2sec^2theta - a^2 = atantheta

Passo 3

Substituindo na integral:
integral raizx^2-a^2x,dx = integral atanthetaasectheta,l(asecthetatantheta,dthetar) = integral atan^2theta,dtheta

Passo 4

Usando a identidade tan^2theta = sec^2theta - 1, obtemos
integral atan^2theta,dtheta = aintegral(sec^2theta - 1),dtheta = al(tantheta - thetar) + C

Passo 5

Voltando a x: de x=asectheta segue tantheta = raizx^2-a^2a e theta = arccos!l(axr). Logo
al(tantheta - thetar) = raizx^2-a^2 ;-; a,arccos!l(tfracaxr) + C

Resposta

integral raizx^2-a^2x,dx = raizx^2-a^2 ;-; a,arccos!l(axr) + C

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