(vale \mathbf{2 , 0} pts) \square Seja S uma superfície com parametrização
\gamma(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)),(u, v) \in D .
(a) Calcule \frac{\partial \gamma}{\partial u} \times \frac{\partial \gamma}{\partial v}.
(b) Se \gamma seja injetiva, definimos a área de S como A(S)=\iint_{D}\left|\frac{\partial \gamma}{\partial u} \times \frac{\partial \gamma}{\partial v}\right| d A. Usando essa informação, conclua, a partir do item (a,) que a área da superfície correspondente ao gráfico da função z=f(u, v),(u, v) \in D, é
A(S)=\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^{2}} d A

Passo 1

O enunciado trata de uma superfície S parametrizada por
\gamma(u,v) = \bigl(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\bigr), \quad (u,v)\in D,
e pede duas coisas:
  1. Calcular o produto vetorial \frac{\partial\gamma}{\partial u}\times\frac{\partial\gamma}{\partial v}.
  2. Mostrar que, no caso especial do gráfico de uma função z=f(u,v), a área de S é
A(S)=\iint_D\sqrt{1+\bigl(f_u\bigr)^2+\bigl(f_v\bigr)^2}\,dA.
Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais de \gamma, o determinante que dá o produto vetorial e a fórmula da área de superfície.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as derivadas parciais de \gamma:
\frac{\partial\gamma}{\partial u} =\Bigl(x_u,\;y_u,\;z_u\Bigr), \qquad \frac{\partial\gamma}{\partial v} =\Bigl(x_v,\;y_v,\;z_v\Bigr),
onde, por exemplo, x_u=\frac{\partial x}{\partial u} e assim por diante.

Passo 3

O produto vetorial \gamma_u\times\gamma_v pode ser visto como o determinante
\frac{\partial\gamma}{\partial u}\times\frac{\partial\gamma}{\partial v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ x_u & y_u & z_u\\\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix}.

Passo 4

Desenvolvendo o determinante, obtemos
\frac{\partial\gamma}{\partial u}\times\frac{\partial\gamma}{\partial v} =\Bigl(y_u\,z_v - z_u\,y_v,\; z_u\,x_v - x_u\,z_v,\; x_u\,y_v - y_u\,x_v\Bigr).

Passo 5

Agora, para o gráfico de z=f(u,v), a parametrização é
\gamma(u,v) = \bigl(u,\;v,\;f(u,v)\bigr).
Nesse caso,
x(u,v)=u,\;y(u,v)=v,\;z(u,v)=f(u,v),
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x_u=1,\;y_u=0,\;z_u=f_u
e
x_v=0,\;y_v=1,\;z_v=f_v.

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do produto vetorial, temos
\gamma_u\times\gamma_v =\bigl(0\cdot f_v - f_u\cdot1,\; f_u\cdot0 - 1\cdot f_v,\; 1\cdot1 - 0\cdot0\bigr) =\bigl(-f_u,\,-f_v,\,1\bigr).
A magnitude desse vetor é
\bigl\lvert\gamma_u\times\gamma_v\bigr\rvert =\sqrt{(-f_u)^2+(-f_v)^2+1^2} =\sqrt{1 + f_u^2 + f_v^2}.

Passo 7

Pela definição de área, se \gamma for injetiva,
A(S) =\iint_D \bigl\lvert\gamma_u\times\gamma_v\bigr\rvert \,dA =\iint_D \sqrt{1 + \bigl(f_u\bigr)^2 + \bigl(f_v\bigr)^2} \,dA.

Resposta

\boxed{A(S)=\iint_{D}\sqrt{1+\bigl(f_u\bigr)^{2}+\bigl(f_v\bigr)^{2}}\,dA.}

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