(vale 2,0 \mathrm{pts} ) \square Descreva o bordo de cada uma das superfícies abaixo:
Superfície Bordo
Hemisfério esférico
Cilindro após corte de uma faixa horizontal
Cilindro após corte de uma faixa vertical

Passo 1

O enunciado pede para descrever o bordo (frontiera topológica) de três superfícies em \mathbb R^3:
  1. Hemisfério esférico definido por x^2+y^2+z^2=R^2, z\ge0.
  2. Cilindro x^2+y^2=R^2 de altura infinita (ou suficiente) após remover uma faixa horizontal entre dois níveis z=z_1 e z=z_2.
  3. Mesmo cilindro após remover uma faixa vertical limitada por duas direções angulares \theta=\alpha e \theta=\beta.

Passo 2

Lembrando que o bordo de uma superfície é o conjunto de pontos onde a superfície “termina”, ou seja, onde não há vizinhança homeomorfa a um disco aberto. Geometricamente, são as curvas de contorno onde a superfície foi cortada.

Passo 3

Para o hemisfério x^2+y^2+z^2=R^2, z\ge0:
todos os pontos com z>0 são internos (têm vizinhança aberta no hemisfério). O único lugar onde a superfície “acaba” é na reta de interseção com o plano z=0, que é o círculo
x^2+y^2=R^2,\quad z=0.

Passo 4

Para o cilindro x^2+y^2=R^2 do qual removemos a faixa entre z=z_1 e z=z_2:
  • Acima de z_2 e abaixo de z_1 a superfície continua sem problema.
  • Nos níveis z=z_1 e z=z_2 fica o contorno do corte: dois círculos paralelos ao plano xy, dados por
x^2+y^2=R^2,\quad z=z_1 \quad\text{e}\quad x^2+y^2=R^2,\quad z=z_2.

Passo 5

Para o mesmo cilindro após remover a faixa vertical entre ângulos \theta=\alpha e \theta=\beta (usando coordenadas cilíndricas x=R\cos\theta, y=R\sin\theta):
  • A superfície é toda a casca cilíndrica, exceto o setor angular \alpha<\theta<\beta.
  • Nas “bordas” do corte ficam duas linhas geratrizes ágeis, fixas em \theta=\alpha e \theta=\beta, ou seja, as curvas
\bigl\{(R\cos\alpha,R\sin\alpha,z)\mid z\in\mathbb R\bigr\} \quad\text{e}\quad \bigl\{(R\cos\beta,R\sin\beta,z)\mid z\in\mathbb R\bigr\}.

Resposta

Hemisfério esférico: \{(x,y,0)\mid x^2+y^2=R^2\} (círculo equatorial).
Cilindro após corte de uma faixa horizontal: \{(x,y,z_1)\mid x^2+y^2=R^2\} e \{(x,y,z_2)\mid x^2+y^2=R^2\} (dois círculos paralelos).
Cilindro após corte de uma faixa vertical: \{(R\cos\alpha,R\sin\alpha,z)\mid z\in\mathbb R\} e \{(R\cos\beta,R\sin\beta,z)\mid z\in\mathbb R\} (duas geratrizes fixas).

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