Resolva a integral \int_{0}^{\sqrt{3}} \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) d x e assinale a opção correta.
(A) \sqrt{3} \ln (\sqrt{3}+2)+1
(B) \sqrt{3} \ln (\sqrt{3}+2)-1
(C) \sqrt{3} \ln (\sqrt{3}-2)+1
(D) \sqrt{3} \ln (\sqrt{3}-2)-1
(E) \sqrt{3} \ln (\sqrt{3}+2)

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{\sqrt{3}} \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx
O conteúdo principal é usar integração por partes para obter a primitiva de \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) e depois avaliar nos limites 0 e \sqrt{3}.

Passo 2

Escolhemos em integração por partes
u = \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{d}{dx}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+1}},
e
v = x.
Logo,
\int \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) - \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Como
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \sqrt{x^{2}+1},
a primitiva fica
F(x) = x\,\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) - \sqrt{x^{2}+1} + C.

Passo 3

Agora avaliamos de 0 a \sqrt{3}:
F(\sqrt{3}) = \sqrt{3}\,\ln\bigl(\sqrt{3}+2\bigr) \;-\; \sqrt{3+1} = \sqrt{3}\,\ln\bigl(\sqrt{3}+2\bigr) - 2,
F(0) = 0\cdot\ln(0+1) - \sqrt{1} = -1.

Passo 4

Subtraindo F(\sqrt{3}) - F(0), obtemos
\int_{0}^{\sqrt{3}} \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx = \bigl(\sqrt{3}\,\ln(\sqrt{3}+2) - 2\bigr) - (-1) = \sqrt{3}\,\ln(\sqrt{3}+2) - 1.

Resposta

(B) \sqrt{3}\,\ln(\sqrt{3}+2)-1

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