Resolva o sistema abaixo usando o método de Gauss-Jordan:
l 4 x+3 y-z+w=4 x-y+2 z-w=0 5 x+2 y+z=4

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos o sistema
l 4x + 3y - z + w = 4, x - y + 2z - w = 0, 5x + 2y + z = 4,
e queremos usar o método de Gauss–Jordan para obter a forma reduzida por linhas da matriz aumentada e, em seguida, escrever a solução em termos de variáveis livres. Esse método consiste em aplicar operações de linha (troca, multiplicação por escalar e soma de linhas) até ter pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna desses pivôs.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema em bloco separado, isolando-a em display math:
[cccc|c 4 & 3 & -1 & 1 & 4 1 & -1 & 2 & -1 & 0 5 & 2 & 1 & 0 & 4 ]
Aqui as colunas correspondem às variáveis x,y,z,w e a última coluna é dos termos independentes.

Passo 3

Para ter um pivô igual a 1 logo na primeira linha, trocamos a linha 1 com a linha 2:
R1rightarrow R2 longrightarrow [cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 0 4 & 3 & -1 & 1 & 4 5 & 2 & 1 & 0 & 4 ]

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna zerando as posições (2,1) e (3,1):
1. R2 >=ts R2 - 4,R1
2. R3 >=ts R3 - 5,R1
Isso leva a
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 7 & -9 & 5 & 4 0 & 7 & -9 & 5 & 4 ]

Passo 5

Observe que as linhas 2 e 3 ficaram idênticas, o que indica uma equação redundante. Subtraindo a linha 2 da linha 3 obtemos uma linha de zeros:
R3 >=ts R3 - R2 longrightarrow [cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 7 & -9 & 5 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Isso confirma que o posto é 2 e teremos 4 variáveis com 2 pivôs, gerando 2 variáveis livres.

Passo 6

Normalizamos o pivô da segunda linha dividindo toda a linha 2 por 7:
R2 >=ts tfrac17,R2 longrightarrow [cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 1 & -tfrac97 & tfrac57 & tfrac47 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 7

Eliminamos a entrada acima do pivô na segunda coluna para zerar a posição (1,2). Basta somar a linha 2 à linha 1:
R1 >=ts R1 + R2 longrightarrow [cccc|c 1 & 0 & tfrac57 & -tfrac27 & tfrac47 0 & 1 & -tfrac97 & tfrac57 & tfrac47 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 8

Agora temos a forma reduzida por linhas. As variáveis correspondentes a colunas sem pivô (aqui
com . Das duas primeiras linhas lemos
Substituindo , isolamos e :

Resposta

A solução geral do sistema é
boxed x &= tfrac47 - tfrac57,s + tfrac27,t, y &= tfrac47 + tfrac97,s - tfrac57,t, z &= s, w &= t, s,tinR

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