Resolva os itens abaixo e dê o conjunto solução com representação na reta numérica.
2|x-2|^2+2|x-2|-12>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
2lvert x-2rvert^2 ;+;2lvert x-2rvert;-;12 ;>;0
Este é um problema de desigualdade envolvendo valor absoluto. Vamos tratar isso reduzindo a uma inequação quadrática em uma nova variável.

Passo 2

Defina a substituição
t = lvert x-2rvert,
onde necessariamente t>=0. A desigualdade fica
2t^2+2t-12>0
Para simplificar, divida ambos os lados por 2:
t^2+t-6>0

Passo 3

Encontre as raízes da equação associada
t^2+t-6=0
Usando a fórmula de Bhaskara, as soluções são
t = -1pmraiz1+242 = -1pm52,
isto é,
t1 = -3, t2 = 2

Passo 4

O polinômio t^2+t-6 é uma parábola voltada para cima, logo é positivo para
t < t1ou t > t2
Como t>=0 e t1=-3 é irrelevante para t>=0, ficamos com
t > 2

Passo 5

Retornando à variável original, temos
lvert x-2rvert > 2
que se divide em
x-2 > 2 Longrightarrow x>4
ou
x-2 < -2Longrightarrow x<0

Resposta

O conjunto–solução é
(-infty,0);cup;(4,infty)

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