Resolva os itens abaixo e dê o conjunto solução com representação na reta numérica.
|2 x^2-2 x-12|=6 x+12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de valor absoluto
l|2x^2-2x-12r| = 6x+12
e dar o conjunto-solução com representação na reta numérica.
Conteúdo: equação envolvendo valor absoluto. Precisamos (1) impor a condição de existência do lado direito e (2) separar em casos conforme o sinal do conteúdo do módulo.

Passo 2

Como l|,cdot,r|>=0, o lado direito 6x+12 também deve ser não negativo:
6x+12 >= 0 Longrightarrow x >= -2
Dessa forma só buscamos soluções com x>=-2.

Passo 3

Vamos fazer a separação em dois casos, conforme o sinal de 2x^2-2x-12:
Caso A (expressão interna não negativa):
2x^2-2x-12 >= 0 Longrightarrow |2x^2-2x-12| = 2x^2-2x-12
A equação fica
2x^2-2x-12 = 6x+12 Longrightarrow 2x^2 -8x -24 = 0 Longrightarrow x^2 -4x -12 = 0
As raízes são
x = 4 pm raiz16 + 482 = 4 pm 82 ;;Longrightarrow;; x = 6 ou x = -2

Passo 4

Caso B (expressão interna negativa):
2x^2-2x-12 < 0 Longrightarrow |2x^2-2x-12| = -(2x^2-2x-12) = -2x^2+2x+12
A equação fica
-2x^2+2x+12 = 6x+12 Longrightarrow -2x^2 -4x = 0 Longrightarrow -2x(x+2)=0 ;;Longrightarrow;; x=0 ou x=-2

Passo 5

Agora reunimos as soluções dos dois casos e aplicamos a condição x>=-2. As raízes obtidas foram
x = 6,;-2,;0,;-2
Filtrando por x>=-2 não eliminamos nenhum desses, então as soluções finais são
x = -2, x = 0, x = 6

Resposta

Conjunto-solução: -2,,0,,6.
Representação na reta numérica: pontos marcados em -2, 0 e 6.

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