Resolva os itens abaixo e dê o conjunto solução com representação na reta numérica.
(x-3)(x-2)^2(x-1) <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x-3)(x-2)^2(x-1)<= 0
O conteúdo aqui é inequação polinomial de grau 4. A estratégia é fatorar o polinômio (já está fatorado), identificar as raízes e suas multiplicidades, fazer uma análise de sinal em cada intervalo e então montar o conjunto solução.

Passo 2

As raízes do polinômio são obtidas fazendo cada fator zero:
x-3=0implies x=3, (x-2)^2=0implies x=2, x-1=0implies x=1
A multiplicidade de x=1 é 1 (ímpar), de x=2 é 2 (par) e de x=3 é 1 (ímpar).

Passo 3

Para cada fator vemos o sinal em cada intervalo:
— O fator (x-2)^2 é sempre não negativo e só se anula em x=2; por ter multiplicidade par, não muda o sinal do produto ao passar por 2.
— Os fatores (x-1) e (x-3) mudam de sinal ao passar por 1 e 3 porque têm multiplicidade ímpar.
Escolhendo um valor de teste em cada intervalo:
- Para x<1, temos (x-3)<0, (x-2)^2>0, (x-1)<0, logo o produto é >0.
- Para 1<x<2, (x-3)<0, (x-2)^2>0, (x-1)>0, logo o produto é <0.
- Para 2<x<3, os sinais são os mesmos de 1<x<2 (pois (x-2)^2 continua positiva), então o produto continua <0.
- Para x>3, (x-3)>0, (x-2)^2>0, (x-1)>0, logo o produto é >0.
Queremos onde <=0, ou seja, onde o produto é negativo ou zero. Fica então a união dos intervalos onde é negativo com os pontos de anulação.

Passo 4

O produto é negativo em (1,3) e se anula em x=1,2,3. Portanto o conjunto solução é o intervalo fechado de 1 a 3.

Resposta

O conjunto solução é
[1,3]
Na reta numérica marca-se ponto fechado em 1 e em 3 e pinta-se o segmento entre eles.

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