Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(5,-1),(2,5) e beta2=(-2,1),(1,3) bases ordenadas de R^2.
Ache as matrizes de mudança de base:
ii) [I2]beta2^beta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base em Álgebra Linear! A questão nos dá duas bases ordenadas de R^2: beta e beta2, e pede para encontrar a matriz de mudança de base [I2]beta2^beta. Isso significa que vamos descobrir como representar a matriz identidade I2 na base beta2 em termos da base beta. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas mudam entre essas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se temos duas bases, digamos beta e gamma, a matriz de mudança de base de gamma para beta transforma coordenadas de um vetor na base gamma para coordenadas na base beta. No nosso caso, queremos mudar de beta2 para beta.

Passo 3

A base beta é (1,0), (0,1), que é a base canônica. Já a base beta2 é (-2,1), (1,3). Para encontrar a matriz de mudança de base [I2]beta2^beta, precisamos expressar cada vetor da base beta2 na base beta.

Passo 4

Como estamos mudando de beta2 para beta, precisamos montar uma matriz onde cada coluna é um vetor da base beta2 expresso na base beta. Já que beta é a base canônica, os vetores de beta2 já estão expressos nessa base. Assim, a matriz de mudança de base será formada diretamente pelos vetores de beta2.

Passo 5

Então, vamos construir a matriz [I2]beta2^beta colocando os vetores (-2,1) e (1,3) como colunas:
[I2]beta2^beta = -2 & 1 1 & 3

Resposta

A matriz de mudança de base [I2]beta2^beta é
-2 & 1 1 & 3

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