Sejam e bases ordenadas de .
Ache as matrizes de mudança de base:
ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base em Álgebra Linear! A questão nos dá duas bases ordenadas de : e , e pede para encontrar a matriz de mudança de base . Isso significa que vamos descobrir como representar a matriz identidade na base em termos da base . Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas mudam entre essas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se temos duas bases, digamos e , a matriz de mudança de base de para transforma coordenadas de um vetor na base para coordenadas na base . No nosso caso, queremos mudar de para .
Passo 3
A base é , que é a base canônica. Já a base é . Para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos expressar cada vetor da base na base .
Passo 4
Como estamos mudando de para , precisamos montar uma matriz onde cada coluna é um vetor da base expresso na base . Já que é a base canônica, os vetores de já estão expressos nessa base. Assim, a matriz de mudança de base será formada diretamente pelos vetores de .
Passo 5
Então, vamos construir a matriz colocando os vetores e como colunas: