Resolva os itens.
Se a transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por
F(s)=1s^2(s^2-4)+2 s-4s^2-4,
econtre f(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a transformada de Laplace de uma função f(t) , que é dada por:
F(s) = 1s^2(s^2-4) + 2 s - 4s^2-4
Nosso objetivo é encontrar a função f(t) . Para isso, vamos usar os conceitos de transformada de Laplace, que nos ajudam a passar do domínio da frequência para o tempo. Vamos precisar quebrar essa expressão em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de F(s) . Observe que o segundo termo já está separado, então vamos focar no primeiro:
1s^2(s^2-4)
Podemos fazer uma fração parcial para quebrar isso em termos mais simples. Vamos assumir que:
1s^2(s^2-4) = As + Bs^2 + Cs - 2 + Ds + 2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^2(s^2 - 4) para eliminar os denominadores:
1 = A cdot s(s^2 - 4) + B(s^2 - 4) + C cdot s^2(s + 2) + D cdot s^2(s - 2)
Agora, vamos encontrar os valores de A, B, C e D substituindo valores de s que simplificam a equação.

Passo 4

Primeiro, coloque s = 0 :
1 = A cdot 0 + B(0 - 4) + C cdot 0 + D cdot 0 1 = -4B B = -14
Agora, coloque s = 2 :
1 = A cdot 2(4 - 4) + B(4 - 4) + C cdot 4(2 + 2) + D cdot 4(2 - 2) 1 = C cdot 16 C = 116
Da mesma forma, coloque s = -2 :
1 = A cdot (-2)(4 - 4) + B(4 - 4) + C cdot 4(-2 + 2) + D cdot 4(-2 - 2) 1 = D cdot (-16) D = -116

Passo 5

Agora, para encontrar A , podemos escolher qualquer outro valor de s . Vamos escolher s = 1 :
1 = A cdot 1(1 - 4) + (-14)(1 - 4) + 116 cdot 1^2(1 + 2) + (-116) cdot 1^2(1 - 2) 1 = A cdot (-3) + (-14) cdot (-3) + 116 cdot 3 + (-116) cdot (-1) 1 = -3A + 34 + 316 + 116 1 = -3A + 1216 + 316 + 116 1 = -3A + 1616 1 = -3A + 1 -3A = 0 A = 0

Passo 6

Então, resumindo os valores encontrados:
A = 0, B = -14, C = 116, D = -116
Portanto, podemos reescrever a fração parcial:
1s^2(s^2-4) = 0s + (-14)1s^2 + 1161s - 2 + (-116)1s + 2
Simplificando:
1s^2(s^2-4) = -14s^2 + 116(1s - 2 - 1s + 2)

Passo 7

Agora, vamos voltar ao F(s) :
F(s) = -14s^2 + 116(1s - 2 - 1s + 2) + 2s - 4s^2 - 4
Vamos simplificar o último termo, 2s - 4s^2 - 4 . Observe que s^2 - 4 = (s - 2)(s + 2) , então podemos escrever:
2s - 4s^2 - 4 = 2(s - 2)(s - 2)(s + 2) = 2s + 2

Passo 8

Substituindo de volta em F(s) :
F(s) = -14s^2 + 116(1s - 2 - 1s + 2) + 2s + 2
Vamos combinar os termos que têm 1s + 2 :
F(s) = -14s^2 + 1161s - 2 + (116 cdot (-1) + 2)1s + 2
Calculando:
116 cdot (-1) + 2 = -116 + 3216 = 3116
Então:
F(s) = -14s^2 + 1161s - 2 + 31161s + 2

Passo 9

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando algumas transformadas básicas:
  • L^-11s^2 = t
  • L^-11s - a = e^a t
Aplicando isso aos termos:
  1. -14s^2 vira -14 t
  2. 116 cdot 1s - 2 vira 116 e^2t
  3. 3116 cdot 1s + 2 vira 3116 e^-2t

Passo 10

Somando todos os termos invertidos:
f(t) = -14 t + 116 e^2t + 3116 e^-2t

Resposta

A função f(t) é
f(t) = -14 t + 116 e^2t + 3116 e^-2t

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