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Se a transformada de Laplace de uma função
é dada por
econtre
.
Se a transformada de Laplace de uma função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a transformada de Laplace de uma função
, que é dada por:
Nosso objetivo é encontrar a função
. Para isso, vamos usar os conceitos de transformada de Laplace, que nos ajudam a passar do domínio da frequência para o tempo. Vamos precisar quebrar essa expressão em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observe que o segundo termo já está separado, então vamos focar no primeiro:
Podemos fazer uma fração parcial para quebrar isso em termos mais simples. Vamos assumir que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
substituindo valores de
que simplificam a equação.
Passo 4
Primeiro, coloque
:
Agora, coloque
:
Da mesma forma, coloque
:
Passo 5
Agora, para encontrar
, podemos escolher qualquer outro valor de
. Vamos escolher
:
Passo 6
Então, resumindo os valores encontrados:
Portanto, podemos reescrever a fração parcial:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos voltar ao
:
Vamos simplificar o último termo,
. Observe que
, então podemos escrever:
Passo 8
Substituindo de volta em
:
Vamos combinar os termos que têm
:
Calculando:
Então:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando algumas transformadas básicas:
Aplicando isso aos termos:
-
vira -
vira -
vira
Passo 10
Somando todos os termos invertidos:
Resposta
A função
é