Seguindo as etapas estudadas faça um esboço do gráfico das funções abaixo: (é necessário deixar claro todo o estudo a respeito do comportamento da função.)
f(x)=2 x^2x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos analisar o gráfico da função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $. Nosso objetivo aqui é entender como essa função se comporta, ou seja, quais são seus pontos importantes como interceptos, assíntotas e como ela se comporta quando $ x $ aumenta ou diminui bastante. Para isso, vamos precisar pensar em conceitos de funções racionais, como domínio, interceptos, assíntotas verticais e horizontais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, que é basicamente todos os valores de $ x $ que a função pode assumir sem causar problemas, como dividir por zero. Olhando para o denominador $ x^{2} - 1 $, sabemos que ele não pode ser igual a zero. Então:
x
Então, o domínio é todos os reais menos $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos $ x $ e $ y $.
  • Intercepto com o eixo $ y $: É quando $ x = 0 $.
x
Então, o intercepto com o eixo $ y $ é $ (0, 0) $.
  • Interceptos com o eixo $ x $: São os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $.
y
Portanto, o único intercepto com o eixo $ x $ também é $ (0, 0) $.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais, que ocorrem onde o denominador é zero (já vimos que $ x = \pm 1 $).
Então, temos duas assíntotas verticais:
x = pm 1
Essas linhas verticais indicam onde a função “explode” ou tende ao infinito.

Passo 5

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais, que mostram como a função se comporta quando $ x $ vai para $ +\infty $ ou $ -\infty $.
Para encontrar isso, observamos os graus do numerador e do denominador:
  • Numerador: grau 2
  • Denominador: grau 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
x
Então, a assíntota horizontal é $ y = 2 $.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos pelas assíntotas verticais $ x = -1 $ e $ x = 1 $:
  1. Para $ x < -1 $:
    • Escolha $ x = -2 $: x = -1 A função está acima da assíntota horizontal.
  2. Para $ -1 < x < 1 $:
    • Escolha $ x = 0 $: x = 1 A função está abaixo da assíntota horizontal.
  3. Para $ x > 1 $:
    • Escolha $ x = 2 $: x < -1 A função está acima da assíntota horizontal.
Isso nos dá uma ideia de como o gráfico se comporta em cada intervalo.

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico da função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ terá:
  • Uma única interseção na origem $ (0, 0) $.
  • Assíntotas verticais em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
  • Uma assíntota horizontal em $ y = 2 $.
  • A função está acima da assíntota horizontal para $ x < -1 $ e $ x > 1 $, e abaixo dela para $ -1 < x < 1 $.
Ao esboçar, lembre-se de desenhar as assíntotas como linhas pontilhadas e refletir o comportamento descrito nos diferentes intervalos.

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