Resolva
Mostre que:
L\left[U_{a}(t) t\right](s)=e^{-s a}\left(\frac{a}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \,U_{a}(t)\,t, onde U_{a}(t) é a função de Heaviside que vale zero para t<a e vale um para t\ge a. O conteúdo aqui é transformada de Laplace de função deslocada (multiplicada por passo unitário). Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e propriedades de integral para resolver.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{U_{a}(t)\,t\}(s) =\int_{0}^{\infty}U_{a}(t)\,t\,e^{-st}\,dt
Como U_{a}(t)=0 em [0,a) e U_{a}(t)=1 em [a,\infty), trocamos os limites:
\mathcal{L}\{U_{a}(t)\,t\}(s) =\int_{a}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int_{a}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt, usamos integração por partes. Seja
u = t,\quad dv = e^{-st}\,dt
então
du = dt,\quad v = \int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando partes em \int_{a}^{\infty}u\,dv:
\int_{a}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt =\Bigl.-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr|_{a}^{\infty} +\frac{1}{s}\int_{a}^{\infty}e^{-st}\,dt.

Passo 4

Avaliaremos cada termo:
  1. Para \displaystyle \lim_{T\to\infty}-\frac{T}{s}e^{-sT}=0 (pois e^{-sT} domina T).
  2. Em t=a \displaystyle -\bigl(-\tfrac{a}{s}e^{-sa}\bigr)=\frac{a}{s}e^{-sa}.
  3. A integral remanescente é
\frac{1}{s}\int_{a}^{\infty}e^{-st}\,dt =\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{a}^{\infty} =\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}e^{-sa} =\frac{1}{s^{2}}e^{-sa}.
Somando os termos,
\int_{a}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt =e^{-sa}\Bigl(\frac{a}{s}+\frac{1}{s^{2}}\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}\{U_{a}(t)\,t\}(s) =e^{-sa}\Bigl(\frac{a}{s}+\frac{1}{s^{2}}\Bigr).

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