Resolva: \left(y \cos x+2 x e^{y}\right) d x+\left(\sin x+x^{2} e^{y}+1\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(y\cos x + 2x e^{y}\bigr)\,dx + \bigl(\sin x + x^{2}e^{y} + 1\bigr)\,dy = 0
e pede a sua solução geral. Trata-se de uma equação de forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, onde
M(x,y)=y\cos x + 2x e^{y}, \quad N(x,y)=\sin x + x^{2}e^{y} + 1.

Passo 2

Verificamos se é exata, comparando \partial M/\partial y com \partial N/\partial x.
\frac{\partial M}{\partial y} =\cos x + 2x e^{y},
\frac{\partial N}{\partial x} =\cos x + 2x e^{y}.
Como as duas derivadas coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y) =\int \bigl(y\cos x + 2x e^{y}\bigr)\,dx =y\sin x + x^{2}e^{y} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos a condição
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\sin x + x^{2}e^{y} + h'(y) \stackrel{!}{=}N(x,y) =\sin x + x^{2}e^{y} + 1.
Isto implica h'(y)=1, logo h(y)=y. Assim
\varphi(x,y)=y\sin x + x^{2}e^{y} + y.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
y\sin x + x^{2}e^{y} + y = C,
onde C é a constante de integração.

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